我的朋友梅瑞迪斯·布魯薩德是紐約大學(xué)的一位教授，她的專業(yè)研究領(lǐng)域是機器學(xué)習(xí)及其社會影響。不久前，她接受了一項任務(wù)：用大約兩分鐘的時間在電視上向全美觀眾解釋人工智能的定義及其工作原理。
她向采訪她的主持人解釋說，人工智能不是殺手機器人，也不是智力讓人類相形見絀但沒有感情的人形機器人。她告訴主持人：“我們只需要記住一點，它的基本原理就是數(shù)學(xué)，沒什么可怕的！”
主持人痛苦的表情暗示了，他們寧愿談?wù)摎⑹謾C器人。
(資料圖)
但梅瑞迪斯的回答一語中的。既然我不用遵守兩分鐘的時間限制，就讓我接過這項任務(wù)，解釋一下機器學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)原理吧，因為這個“偉大的創(chuàng)意”比你想象的要簡單。
機器學(xué)習(xí)如登山
假設(shè)你不是一臺機器，而是一名登山者，正在努力地往山頂爬。但你沒帶地圖，四周又都是樹木和灌木叢，也沒有什么有利位置能讓你看到更廣闊的風(fēng)景。那么，你該如何登頂呢？
有一種策略是，評估你腳下的地面坡度。當(dāng)你往北走的時候，地面坡度可能會略微上升，當(dāng)你往南走的時候，地面坡度可能會略微下降。當(dāng)你轉(zhuǎn)向東北方時，你發(fā)現(xiàn)那里有一個更陡峭的上坡。你在一個小圈里走來走去，勘察了你可能前往的所有方向，并發(fā)現(xiàn)其中一個方向的上坡是最陡峭的，于是你朝那個方向走了幾步。然后，你再畫一個圈，并從你可能前往的所有方向中選出最陡峭的上坡，以此類推。
現(xiàn)在，你知道機器學(xué)習(xí)的工作原理了吧。
好吧，也許還不止這些，但這個叫作“梯度下降法”的概念是機器學(xué)習(xí)的核心。它其實是一種試錯法：你嘗試一堆可能的行動方案，然后從中選出最有助于你擺脫困境的那個。與某個方向相關(guān)的“梯度”是一個數(shù)學(xué)概念，它是指“當(dāng)你朝那個方向走一小步時，高度會發(fā)生多大的變化”，也就是你走的那條路的地面坡度。梯度下降法是一種算法，它利用數(shù)學(xué)語言制定了“一條明確的規(guī)則，告訴你在你可能遇到的各種情況下應(yīng)該怎么做”。
這條規(guī)則是：考慮你可以朝哪些方向走，找出其中梯度最大的那個，并朝那個方向走幾步；重復(fù)上述步驟。
把你前往山頂?shù)穆肪€繪制到地形圖上，大致的樣子如圖1所示。
圖1 這又是一個很棒的幾何圖形。當(dāng)你利用梯度下降法來指引方向時，你在地形圖上的路線必定與等高線垂直。
但它與機器學(xué)習(xí)又有什么關(guān)系呢？
假設(shè)我不是一名登山者，而是一臺嘗試學(xué)些東西的計算機，例如阿爾法圍棋或GPT-3。但一開始，先假設(shè)我是一臺嘗試學(xué)習(xí)貓是什么的計算機。
我該怎么做？答案是：采取類似于嬰兒的學(xué)習(xí)方法。在嬰兒生活的世界里，經(jīng)常有大人指著他們視野中的某個東西說“貓”。你也可以對計算機進行這樣的訓(xùn)練：給它提供1000幅貓的圖片，這些貓的姿態(tài)、亮度和情緒各不相同。你告訴計算機：“所有這些都是貓?！笔聦嵣?，如果你真想讓這種方法行之有效，就要另外輸入1000幅非貓的圖片，并告訴計算機哪些是貓而哪些不是。
機器的任務(wù)是制定一個策略，使它能夠自行區(qū)分哪些是貓而哪些不是。它在所有可能的策略之間徘徊，試圖找到最好的那個，即識別貓的準(zhǔn)確度達到最高。它是個準(zhǔn)登山者，所以它可以利用梯度下降法確定行進路線。你選擇了某個策略，將自己置于對應(yīng)的環(huán)境中，然后在梯度下降規(guī)則的指引下前行。想一想你對當(dāng)前策略可以做出哪些小改變，找出能為你提供最大梯度的那個，并付諸行動；重復(fù)上述步驟。
貪婪是相當(dāng)好的東西
這句話聽起來頗有道理，但隨后你會發(fā)現(xiàn)自己并不明白它的意思。例如，什么是策略？它必須是計算機可以執(zhí)行的東西，而這意味著它必須用數(shù)學(xué)語言來表達。對計算機而言，一幅圖片就是一長串?dāng)?shù)字。如果這幅圖片是600×600像素的網(wǎng)格，那么每個像素都有一個亮度，它們的值在 0到 1之間。只要知道這 36 萬個數(shù)字，就能知道這幅圖片是什么內(nèi)容了。
策略是一種將輸入計算機的 36 萬個數(shù)字轉(zhuǎn)變成“貓”或“非貓”的方法。用數(shù)學(xué)術(shù)語來表達的話，策略就是一個函數(shù)。事實上，為了更貼近心理現(xiàn)實，策略的輸出可能是一個介于 0 和 1 之間的數(shù)，它代表了當(dāng)輸入是一幅模糊的猞猁或加菲貓枕頭圖片時，機器可能想表達的不確定性。當(dāng)輸出是 0.8 時，我們應(yīng)該將其解讀為“我?guī)缀蹩梢钥隙ㄟ@是一只貓，但仍心存疑慮”。
例如，你的策略可能是這樣一個函數(shù)：“輸出你輸入的 36 萬個數(shù)字的平均值”。如果圖片是全白的，函數(shù)給出的結(jié)果就是 1 ；如果圖片是全黑的，函數(shù)給出的結(jié)果就是 0?？偟膩碚f，這個函數(shù)可以測量計算機屏幕上圖片的總體平均亮度。這跟圖片是不是貓有什么關(guān)系？毫無關(guān)系，我可沒說它是一個好策略。
我們?nèi)绾魏饬恳粋€策略是否成功呢？最簡單的方法是，看看那臺已學(xué)習(xí)過2000幅貓和非貓圖片的計算機接下來的表現(xiàn)。對于每幅圖片，我們都可以給策略打一個“錯誤分?jǐn)?shù)”。如果圖片是貓且策略的輸出是 1，那么錯誤分?jǐn)?shù)為0，也就是說答案正確。如果圖片是貓而策略的輸出是0，那么錯誤分?jǐn)?shù)為 1，這是最壞的一種可能。如果圖片是貓而策略的輸出是0.8，那么答案近似正確但帶有些許不確定性，錯誤分?jǐn)?shù)為0.2。
把用于訓(xùn)練的所有2000幅圖片的錯誤分?jǐn)?shù)加總，就會得到總錯誤分?jǐn)?shù)，它可以衡量你的策略是否成功。你的目標(biāo)是找到一個總錯誤分?jǐn)?shù)盡可能低的策略，怎樣才能讓策略不出錯呢？這就要用到梯度下降法了，因為現(xiàn)在你已經(jīng)知道策略隨著你的調(diào)整而變得更好或更差意味著什么。梯度測量的是，當(dāng)你對策略稍做改變時錯誤分?jǐn)?shù)的變化幅度；在你能對策略做出的所有小改變中，選出可使錯誤分?jǐn)?shù)下降幅度最大的那個。梯度下降法不僅適用于貓，只要你想讓機器從經(jīng)驗中習(xí)得策略，它就通通適用。
在這里，我不想低估計算方面的挑戰(zhàn)。那臺學(xué)習(xí)識別貓的計算機更有可能用數(shù)百萬幅圖片來訓(xùn)練自己，而不只是2000幅。這樣一來，計算總錯誤分?jǐn)?shù)時可能就需要加總100萬個錯誤分?jǐn)?shù)。即使你擁有一臺強大的處理器，也需要花不少時間！所以在實踐中，我們經(jīng)常使用梯度下降法的變體之一——隨機梯度下降法。
這種方法涉及數(shù)不清的微小變化和錯誤分?jǐn)?shù)，但它的基本理念是：第一步，你從大量的訓(xùn)練圖片中隨機選擇一幅，然后采取可使這幅圖片的錯誤分?jǐn)?shù)降至最低的那個步驟，而不是把所有的錯誤分?jǐn)?shù)加在一起。第二步，再隨機選擇一幅圖片，重復(fù)上述做法。隨著時間的推移，最終所有圖片可能都會被考慮到。
我喜歡隨機梯度下降法的原因在于，它聽上去很瘋狂。例如，想象一下，美國總統(tǒng)正在制定全球戰(zhàn)略，一群下屬圍在他身邊大喊大叫，建議總統(tǒng)以符合他們自身特殊利益的方式調(diào)整政策?？偨y(tǒng)每天隨機選擇一個人，聽取他的建議，并對政策做出相應(yīng)的改變。用這種方法管理一個大國是極其荒謬的，但它在機器學(xué)習(xí)方面卻行之有效。
到目前為止，我們的描述缺失了一個重要因素：你如何知道何時該停止呢？你也許會說，很簡單啊，當(dāng)我們做出任何小改變都不能使錯誤分?jǐn)?shù)降低時，就可以停止了。但有一個大問題：你可能并未真正“登頂”。
如果你是圖2中那個快樂的登山者，向左走一步或向右走一步，你會看到這兩個方向都不是上坡。這就是你快樂的原因：你自認(rèn)為已經(jīng)登頂了！
圖2
但事實并非如此。真正的峰頂還很遙遠(yuǎn)，而梯度下降法不能幫你到達那里。你掉進了數(shù)學(xué)家所說的“局部最優(yōu)值”陷阱，在這個位置上，任何小變化都不能產(chǎn)生改善效果，但它遠(yuǎn)非真正的最佳站位。
我喜歡把局部最優(yōu)值看作拖延癥的數(shù)學(xué)模型。假設(shè)你必須面對一項令人厭煩的任務(wù)，例如，整理一大摞資料，其中大部分與你多年來一直想達成的目標(biāo)有關(guān)，扔掉它們則代表你最終選擇妥協(xié)，不打算繼續(xù)堅持下去了。每一天，梯度下降法都會建議你采取某個小行動，從而最大程度地提升你當(dāng)天的幸福感。整理那一大摞資料會讓你感到快樂嗎？不，恰恰相反，它讓你感覺很糟糕。推遲一天完成這項任務(wù)是梯度下降法對你的要求，第二天、第三天、第四天……算法每天都會給你同樣的建議。就這樣，你掉進了局部最優(yōu)值——低谷——的陷阱，要想登上更高的山峰，你必須咬牙穿過山谷，那也許是很長的一段路，而且你得先往下走再往上爬。梯度下降法也被稱為“貪婪的算法”，因為它每時每刻都會選擇能使短期利益最大化的步驟。貪婪是罪惡之樹上的主要果實之一，但有一個關(guān)于資本主義的流行說法稱“貪婪是好東西”。在機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，更準(zhǔn)確的說法是：“貪婪是相當(dāng)好的東西。”梯度下降法可能會導(dǎo)致你陷入局部最優(yōu)值陷阱，但相較于理論層面，這種情況在實踐中發(fā)生的次數(shù)并不多。
想繞過局部最優(yōu)值，你需要做的就是暫時收起你的貪婪。所有好的規(guī)則都有例外。例如，在你登頂后，你可以不停下腳步，而是隨機選擇另一個地點，重啟梯度下降法。如果每次的終點都是同一個地方，你就會更加確信它是最佳地點。在圖2 中，如果登山者從一個隨機地點開始使用梯度下降法，他就更有可能登上那座大山峰，而不是困在那座小山峰上。
在現(xiàn)實生活中，你很難將自己重置于一個完全隨機的人生位置上。更加切實可行的做法是，從你當(dāng)前的位置隨機邁出一大步，而不是貪婪地選擇一小步。這種做法通常足以把你推到一個全新的位置上，向著人生巔峰邁進。
我是對還是錯？
還有一個大問題。我們愉快地決定考慮所有可能的小改變，看看其中哪一個能帶來最優(yōu)梯度。如果你是一名登山者，擺在你面前的就是一個明確的問題：你在一個二維空間中選擇下一步的行動方向，這相當(dāng)于在指南針上的一圈方向中擇其一，而你的目標(biāo)是找出具有最優(yōu)梯度的那個點。
但事實上，給貓圖片評分的所有可能策略構(gòu)成了一個十分巨大的無限維空間。沒有任何方法能將你的所有選擇考慮在內(nèi)，如果你站在人的角度而不是機器的角度，就會發(fā)現(xiàn)這一點顯而易見。假設(shè)我正在寫一本關(guān)于梯度下降法的自助類書籍，并且告訴你：“想要改變你的人生，做法很簡單。仔細(xì)考慮有可能改變你人生的所有方法，然后從中選擇效果最好的那個，這樣就可以了?！蹦憧赐赀@句話肯定會呆若木雞，因為所有可能改變你人生的方法構(gòu)成的空間太大了，根本無法窮盡搜索。
如果通過某種非凡的內(nèi)省法，你可以搜遍這個無限維空間呢？那樣的話，你還會碰到另一個問題，因為下面這個策略絕對可以使你的過往人生經(jīng)歷的錯誤分?jǐn)?shù)降至最低。
策略：如果你將要做的決策和你以前做的某個決策完全相同，就把你現(xiàn)在考慮的這個決策視為正確的決定。否則的話，拋硬幣決定吧。
如果換成學(xué)習(xí)識別貓的那臺計算機，上述策略就會變成：
策略：對于在訓(xùn)練中被識別為貓的圖片，輸出“貓”。對于被識別為非貓的圖片，輸出“非貓”。對于其他圖片，拋硬幣決定吧。
這個策略的錯誤分?jǐn)?shù)為0！對于訓(xùn)練中使用的所有圖片，這臺計算機都會給出正確的答案。但如果我展示一幅它從未見過的貓圖片，它就會拋硬幣決定。如果有一幅圖片我展示過并告訴它那是貓，但在我把這幅圖片旋轉(zhuǎn) 0.01 度后，它也會拋硬幣決定。如果我向它展示一幅電冰箱的圖片，它還是會拋硬幣決定。它所能做的只是精確地辨識出我展示過的有限的貓和非貓圖片，這不是學(xué)習(xí)，而是記憶。
我們已經(jīng)看到了策略失效的兩種方式，從某種意義上說它們是兩個極端。
1. 在你遇到過的許多情況下，這種策略都是錯的。
2. 這種策略只適用于你遇到過的情況，但對于新情況它一無是處。
前一個問題叫作“欠擬合”，是指你在制定策略時沒有充分利用你的經(jīng)驗。后一個問題叫作“過擬合”，是指你太過依賴自己的經(jīng)驗。我們?nèi)绾卧谶@兩個無用的極端策略之間找到一個折中的策略呢？答案是：讓這個問題變得更像登山。登山者搜索的是一個非常有限的選擇空間，我們也可以這樣，前提條件是我們要對自己的選擇加以限制。
我們本能地知道這一點。在思考如何評估自己的人生策略時，我們通常使用的比喻是在地球表面選擇方向，而不是在無限維空間中隨機游走。美國詩人羅伯特·弗羅斯特將其比作“兩條分岔路”。傳聲頭樂隊的歌曲《一生一次》猶如弗羅斯特的詩《未選擇的路》的續(xù)作，你仔細(xì)品讀就會發(fā)現(xiàn)，這首歌描繪的正是梯度下降法：
你可能會問自己，那條公路通向哪里？
你可能會問自己，我是對還是錯？
你可能會對自己說：天??！我到底做了什么？
你不必把自己的選擇局限于一個旋鈕。
而線性回歸是選擇旋鈕的最常用方法之一。當(dāng)統(tǒng)計學(xué)家尋找可根據(jù)一個已知變量的值預(yù)測另一個變量的策略時，線性回歸也是他們的首選工具。例如，一個吝嗇的棒球隊老板可能想知道，球隊的勝率對比賽門票的銷量會產(chǎn)生多大的影響。他不想在球場上投入太多的人力物力，除非它們能有效地轉(zhuǎn)化成上座率。
圖3 美國職業(yè)棒球大聯(lián)盟2019賽季的主場上座人數(shù) vs 球隊勝率
圖3上的每個點分別代表一支球隊，縱坐標(biāo)表示這些球隊在 2019 賽季的勝率，橫坐標(biāo)表示這些球隊的主場上座人數(shù)。你的目標(biāo)是找到一個能根據(jù)球隊勝率預(yù)測主場上座人數(shù)的策略，你允許自己考慮的選擇空間很小，而且其中的策略都是線性的。
主場上座人數(shù) = 神秘數(shù)字 1 × 球隊勝率 + 神秘數(shù)字 2
任意一個類似的策略都對應(yīng)著圖中的一條直線，你希望這條線能盡可能地匹配你的數(shù)據(jù)點。兩個神秘數(shù)字就是兩個旋鈕，你可以通過上下轉(zhuǎn)動旋鈕實現(xiàn)梯度下降，直到你無法通過任何微調(diào)降低策略的總體錯誤分?jǐn)?shù)。
最終，你會得到一條如圖4所示的直線。
圖4
你可能會注意到，即使是錯誤分?jǐn)?shù)最低的直線，其誤差也不小。這是因為，現(xiàn)實世界中的大多數(shù)關(guān)系都不是嚴(yán)格意義上的線性關(guān)系。我們可以試著納入更多的變量作為輸入來解決這個問題，但線性策略的最終效果仍然有限。例如，這個策略不能告訴你哪些圖片是貓。在這種情況下，你不得不冒險進入非線性的狂野世界。
深度學(xué)習(xí)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)
在機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，正在研發(fā)的一種最重要的技術(shù)叫作“深度學(xué)習(xí)”。它有時以一種先知的姿態(tài)出現(xiàn)在人類面前，自動地、大規(guī)模地提供非凡的洞見。這種技術(shù)還有一個名稱——“神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)”，就好像這種方法能以某種方式自行捕獲人類大腦的運行方式一樣。
但事實并非如此。正如梅瑞迪斯·布魯薩德所說，它的原理只是數(shù)學(xué)，甚至不是最新的數(shù)學(xué)。這一基本概念早在20世紀(jì)50年代末就出現(xiàn)了，從我1985年收到的那堆成人禮的禮物中，你也能看到與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)類似的東西。除了支票、幾個圣杯和20多支高仕筆外，我還收到了父母送的也是我最想要的禮物——雅馬哈DX21合成器，它至今還在我的家庭辦公室里。早在1985年就能擁有一臺合成器，而不是電子琴，這讓我感到非常自豪。你不僅能用DX21合成器彈奏出鋼琴、小號和小提琴的音色，還可以用它制作你想要的音色，前提是你能掌握那本70頁說明書的晦澀內(nèi)容，其中包含了很多如圖5所示的圖片。
圖5
每個“OP”盒子代表一個合成器波，你可以通過轉(zhuǎn)動盒子上的旋鈕，讓聲音變得更響亮、更柔和、隨時間淡出或淡入，等等。這些都稀松平常，而DX21真正神奇的地方在于它和操作者之間的連接。圖 5 展示了一個魯布·戈德堡機械式的過程，從OP1發(fā)出的合成器波不僅取決于這個盒子上你可以轉(zhuǎn)動的那些旋鈕，還取決于OP2的輸出。合成器波甚至可以自行調(diào)節(jié)，附屬于OP4的“反饋”箭頭代表的就是這種功能。通過轉(zhuǎn)動每個盒子上的幾個旋鈕，你可以獲得范圍極其廣泛的輸出。這給了我嘗試的機會，自己動手制作新的音色。
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)跟我的合成器很像，它是由幾個小盒子構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，如圖6所示。
圖6
所有盒子的功能都相同：如果輸入一個大于或等于 0.5 的數(shù)字，它們就會輸出1；否則，它們就會輸出 0。用這種盒子作為機器學(xué)習(xí)基本元素的想法，是在1957—1958 年由心理學(xué)家弗蘭克·羅森布拉特提出來的，他視其為神經(jīng)元工作原理的一個簡單模型。盒子靜靜地待在那里，一旦接收到的刺激超過某個閾值，它就會發(fā)射一個信號。羅森布拉特把這類機器稱作“感知機”。為了紀(jì)念這段歷史，我們?nèi)匀环Q這些假神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)為“神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)”，盡管大多數(shù)人不再認(rèn)為它們是在模擬人類的大腦硬件。
數(shù)字一旦從盒子中輸出，就會沿著盒子右側(cè)的任意箭頭運動。每個箭頭上都有一個叫作“權(quán)重”的數(shù)字，當(dāng)輸出沿箭頭呼嘯而過時，就會乘以相應(yīng)的權(quán)重。每個盒子把從其左側(cè)進入的所有數(shù)字加總，并以此作為輸入。
每一列被稱為一層，圖6中的網(wǎng)絡(luò)有兩層，第一層有兩個盒子，第二層有一個盒子。你先向這個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入兩個數(shù)字，分別對應(yīng)第一層的兩個盒子。以下是有可能發(fā)生的情況：
1. 兩個輸入都不小于 0.5。第一層的兩個盒子都輸出 1，當(dāng)這兩個數(shù)字沿著箭頭移動時，都變?yōu)?1/3，所以第二層的盒子接收到 2/3 作為輸入，并輸出 1。
2. 一個輸入不小于 0.5，另一個輸入小于 0.5。那么，兩個輸出分別是 1 和 0，所以第二層的盒子接收到 1/3 作為輸入，并輸出 0。
3. 兩個輸入都小于 0.5。那么，第一層的兩個盒子都輸出 0，第二層的盒子也輸出 0。
換句話說，這個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一臺機器，它接收到兩個數(shù)字作為輸入，并告訴你它們是否都大于0.5。
圖7是一個略顯復(fù)雜的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。
圖7
該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的第一層有51個盒子，它們都向第二層的那個盒子輸入數(shù)字。但箭頭上的權(quán)重不同，最小的權(quán)重為3/538，最大的權(quán)重為55/538。這臺機器在做什么？它將51個不同的數(shù)字作為輸入，并激活每個輸入大于0.5的盒子。然后，它對這些盒子進行加權(quán)計算，檢驗它們的和是否大于0.5。如果是，就輸出1；如果不是，則輸出 0。
我們可以把它稱作“兩層羅森布拉特感知機”，但它還有一個更常用的名稱——“選舉人團制度”。51個盒子代表美國的50 個州和華盛頓特區(qū)，如果共和黨候選人在某個州獲勝，代表該州的盒子就會被激活。把所有這些州的選舉人票數(shù)加總后除以538，如果結(jié)果大于0.5，共和黨候選人就是贏家。
圖8是一個更現(xiàn)代的例子，它不像選舉人團制度那樣易于用語言來描述，但它與驅(qū)動機器學(xué)習(xí)不斷進步的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更加接近。
圖8
圖8中的盒子比羅森布拉特感知機的盒子更精致。盒子接收到一個數(shù)字作為輸入，并輸出該數(shù)字和0中較大的那個。換句話說，如果輸入是一個正數(shù)，盒子就會原封不動地輸出這個數(shù)字；但如果輸入是一個負(fù)數(shù)，盒子就會輸出 0。
我們來試試這個裝置。假設(shè)我先向最左邊一層的兩個盒子分別輸入1和1。這兩個數(shù)字都是正數(shù)，所以第一層的兩個盒子都會輸出1。再來看第二層，第一個盒子接收到的數(shù)字是1×1 = 1，第二個盒子接收到的數(shù)字是-1×1 = -1。同理，第二層的第三個盒子和第四個盒子接收到的數(shù)字分別是1和-1。1是正數(shù)，所以第一個盒子輸出1。但第二個盒子接收到的輸入是一個負(fù)數(shù)，未能被觸發(fā)，所以它輸出0。同樣地，第三個盒子輸出1，第四個盒子輸出0。
圖9
接著看第三層，上面的盒子接收到的數(shù)字是1×1+3×0+2×1+1×0=3，下面的盒子接收到的數(shù)字是3×1?1×0?5×1?1×0=?2。所以，上面的盒子輸出3，下面的盒子未能被觸發(fā)，輸出0。最后，第四層的那個盒子接收到的兩個輸入之和為1×3+1×0=3。
即使你未關(guān)注到這些細(xì)節(jié)，也沒有關(guān)系。重要的是，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個策略，它接收到兩個數(shù)字作為輸入，并返回一個數(shù)字作為輸出。如果你改變箭頭上的權(quán)重，也就是說，如果你轉(zhuǎn)動14個旋鈕，就會改變這個策略。圖9為你提供了一個十四維空間，讓你根據(jù)既有的數(shù)據(jù)從中找出最適合的策略。如果你覺得很難想象出十四維空間的樣子，我建議你聽從現(xiàn)代神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論的創(chuàng)始人之一杰弗里·辛頓的建議：“想象一個三維空間，并大聲對自己說‘這是十四維空間’。所有人應(yīng)該都能做到這一點。”辛頓來自一個高維空間愛好者家族，他的曾祖父查爾斯在1904年寫了一本關(guān)于如何想象四維立方體的書，并發(fā)明了“超立方體”一詞來描述它們。不知道你有沒有看過西班牙畫家薩爾瓦多·達利的油畫作品《受難》，其中就有一個辛頓的超立方體。
圖10中這個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重已知，如果平面上的點(x， y)位于灰色形狀內(nèi)部，就賦予它一個等于或小于3的值。注意，當(dāng)點(1， 1)位于灰色形狀的邊界上時，策略賦予它的值是3。
圖10
不同的權(quán)重會產(chǎn)生不同的形狀，雖然不是任意形狀。感知機的本質(zhì)意味著這個形狀永遠(yuǎn)是多邊形，即邊界由多條線段構(gòu)成的形狀。
如圖11所示，假設(shè)我用X 標(biāo)記了平面上的一些點，用O 標(biāo)記了其他一些點。我給機器設(shè)定的目標(biāo)是讓它習(xí)得一個策略：根據(jù)我標(biāo)記的那些點，用X 或O為平面上其他未標(biāo)記的點賦值。也許（希望如此）我可以通過正確設(shè)置那 14 個旋鈕得到某個策略，將較大的值賦予所有標(biāo)記為X 的點，而將較小的值賦予所有標(biāo)記為O 的點，以便我對平面上尚未標(biāo)記的點做出有根據(jù)的猜測。如果真有這樣的策略，我希望可以通過梯度下降法來習(xí)得它：微微轉(zhuǎn)動每個旋鈕，看看這個策略在給定例子中的錯誤分?jǐn)?shù)會降低多少，從中找出效果最佳的那個操作，并付諸實施；重復(fù)上述步驟。深度學(xué)習(xí)中的“深度”僅指神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有很多層。每層的盒子個數(shù)被稱為“寬度”，在實踐中，這個量可能也很大。但相比“深度學(xué)習(xí)”，“寬度學(xué)習(xí)”少了一些專業(yè)術(shù)語的味道。
可以肯定的是，今天的深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)比上文中的那些示意圖要復(fù)雜得多，盒子里的函數(shù)也比我們討論過的簡單函數(shù)要復(fù)雜得多。遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中還包含反饋盒子，就像我的DX21合成器上的“OP4”一樣，把自身的輸出作為輸入。而且，它們的速度明顯更快。正如我們所見，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的概念已經(jīng)存在很長時間了，我記得就在不久前，人們還認(rèn)為這條路根本走不通。但事實證明，這是一個很好的想法，只不過硬件必須跟上概念的步伐。為快速渲染游戲畫面而設(shè)計的GPU芯片，后來被證明是快速訓(xùn)練大型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理想工具，有助于實驗人員提升神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的深度和寬度。有了現(xiàn)代處理器，你就不必再受限于 14 個旋鈕，而可以操控幾千、幾百萬乃至更多的旋鈕。GPT-3 生成的英語文本能以假亂真，它使用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有1750億個旋鈕。
有1750億個維度的空間聽起來的確很大，但和無窮大相比，這個數(shù)量又顯得微不足道。同樣地，與所有可能的策略構(gòu)成的空間相比，我們正在探索的只是其中很小的一部分。但在實踐中，這似乎足以生成看起來像人類創(chuàng)作的文本，就好比DX21的小型網(wǎng)絡(luò)足以模擬出小號、大提琴和太空霹靂的音色。
這已經(jīng)非常令人驚訝了，但還有一個更深層次的謎。記住，梯度下降法的理念就是不斷轉(zhuǎn)動旋鈕，直到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能在訓(xùn)練過的數(shù)據(jù)點上取得盡可能好的效果。今天的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有許許多多旋鈕，所以它們常能做到在訓(xùn)練集上表現(xiàn)完美，把1000幅貓圖片中的每一幅都識別為“貓”，而把1000 幅其他圖片全部識別為“非貓”。
事實上，有這么多的旋鈕可以轉(zhuǎn)動，讓訓(xùn)練數(shù)據(jù)百分之百正確的所有可能策略就會構(gòu)成一個巨大的空間。事實證明，當(dāng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)面對它從未見過的圖片時，這些策略中的大多數(shù)都表現(xiàn)得很糟糕。但是，蠢笨又貪婪的梯度下降過程出現(xiàn)在某些策略中的頻率通常高于其他策略，而在實踐中，梯度下降法偏愛的那些策略似乎更容易推廣到新的例子中。
為什么呢？是什么使得這種特殊形式的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擅長應(yīng)對各種各樣的學(xué)習(xí)問題？我們在策略空間中搜索的這塊微不足道的區(qū)域，為什么恰恰就包含了一個好的策略呢？
據(jù)我所知，它是一個謎。坦白地說，關(guān)于它是不是一個謎的問題，還存在很多爭議。我向很多聲名顯赫的人工智能研究者提問過這個問題，他們回答起來個個口若懸河。其中一些人非常自信地解釋了其中的原因，但每個人的說法都不一樣。
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